Εξηγώντας τον κίνδυνο «εκθετικής» εξάπλωσης του κορωνοϊού με απλά Μαθηματικά
Γράφει ο Βασίλης Γερογιάννης
Υποθέσεις
Κάπου σε μια γωνιά της γης, ας φανταστούμε ότι υπάρχουν τρεις μικρές γειτονικές χώρες:
Η Ηπιόνη, η Ακεσώ και η Πανάκεια.
Καθεμία από τις τρεις αυτές χώρες έχει περίπου 1.000.000 κατοίκους, δηλαδή δέκα φορές περίπου μικρότερο πληθυσμό από την Ελλάδα μας.
Έστω ότι στις τρεις αυτές απολύτως φανταστικές χώρες εμφανίστηκε, κατά σύμπτωση, την ίδια μέρα και στις τρεις, το πρώτο κρούσμα του κορωνοϊού.
Ας υποθέσουμε, χάριν λόγου, ότι και στις τρεις χώρες το πρώτο κρούσμα συνέβη ταυτόχρονα την Τετάρτη 26/2/2020, δηλαδή συνέβη κατά σύμπτωση την ίδια μέρα, που εμφανίστηκε το πρώτο κρούσμα στην Ελλάδα μας.
Άρχισε να αυξάνεται το πλήθος των κρουσμάτων, δηλαδή το πλήθος των κατοίκων σε κάθε χώρα που είναι φορείς του ιού.
Κατά περίεργο τρόπο όμως η εξάπλωση των κρουσμάτων σε κάθε χώρα αυξάνει με διαφορετικό ρυθμό.
Ας δούμε τι συμβαίνει στην κάθε χώρα ξεχωριστά:
Στην πρώτη χώρα, στην Ηπιόνη, κάθε μέρα εμφανίζονται 500 νέοι φορείς του ιού.
Συνεπώς, στην Ηπιόνη:
· την 1η μέρα (26/2/2020) υπάρχει 1 φορέας,
· τη 2η μέρα (27/2/2020) υπάρχουν 501 φορείς,
· την 3η μέρα (28/2/2020) υπάρχουν 1.001 φορείς,
· την 4η μέρα (29/2/2020) υπάρχουν 1.501 φορείς,
· την 5η μέρα (1/3/2020) υπάρχουν 2.001 φορείς, … κοκ.
Στη δεύτερη χώρα, στην Ακεσώ, ο αριθμός των φορέων κάθε μέρα είναι ίσος με το τετράγωνο του αύξοντα αριθμού της μέρας. Δηλαδή, το πλήθος των φορέων κάθε μέρα είναι ίσο με τον αριθμό που βρίσκουμε αν υψώσουμε τον αύξοντα αριθμό της μέρας στη δύναμη του 2.
Συνεπώς, στην Ακεσώ:
· την 1η μέρα (26/2/2020) υπάρχει 1 φορέας,
· τη 2η μέρα (27/2/2020) υπάρχουν 2^2 = 4 φορείς,
· την 3η μέρα (28/2/2020) υπάρχουν 3^2 = 9 φορείς,
· την 4η μέρα (29/2/2020) υπάρχουν 4^2 = 16 φορείς,
· την 5η μέρα (1/3/2020) υπάρχουν 5^2 = 25 φορείς, … κοκ.
Τέλος, στην τρίτη χώρα, στην Πανάκεια, ο αριθμός των φορέων κάθε μέρα είναι ίσος με το διπλάσιο του αριθμού των φορέων που υπήρχαν την προηγούμενη μέρα.
Έτσι, στην Πανάκεια:
· την 1η μέρα (26/2/2020) υπάρχει 1 φορέας,
· τη 2η μέρα (27/2/2020) υπάρχουν 2×1 = 2 φορείς,
· την 3η μέρα (28/2/2020) υπάρχουν 2×2 = 4 φορείς,
· την 4η μέρα (29/2/2020) υπάρχουν 2×4 = 8 φορείς,
· την 5η μέρα (1/3/2020) υπάρχουν 2×8 = 16 φορείς, … κοκ.
Με βάση τα παραπάνω μικρά νούμερα κρουσμάτων τις πρώτες μέρες, οι κάτοικοι της Πανάκειας και της Ακεσώ αισθάνονται σχετικά ήσυχοι.
Σχετικά ήσυχοι αισθάνονται και οι κάτοικοι στην Ηπιόνη. Αυτοί όμως για έναν φαινομενικά «ανεξήγητο» λόγο, αφού στη χώρα τους το πλήθος των κρουσμάτων ήταν, αυτές τις πρώτες μέρες, συγκριτικά κατά πολύ μεγαλύτερο από τα κρούσματα στην Πανάκεια και την Ακεσώ.
Οι κάτοικοι λοιπόν και στις τρεις χώρες είναι επαναπαυμένοι.
Αυτοί που (ακόμη) δεν είναι φορείς του ιού δεν λαμβάνουν μέτρα προφύλαξης.
Το ίδιο κάνουν και όσοι είναι φορείς του ιού.
Πολλοί δεν μένουν πολλή ώρα στα σπίτια τους, αλλά συνεχίζουν αμέριμνα τη ζωή τους και τις συνήθειες τους. Συνεχίζουν να ζουν όπως ακριβώς έκαναν πριν από την εμφάνιση του ιού.
Όλοι τους περιμένουν σύντομα να βρεθεί το εμβόλιο για να εμβολιαστούν και να «πεθάνει» ο ιός.
Ορισμένοι από τους φορείς νοσούν και μερικοί από αυτούς ασθενούν βαριά, αλλά τους περισσότερους κατοίκους και των τριών χωρών αυτών χωρών δεν φαίνεται να τους πολύ-ανησυχούν αυτές οι περιπτώσεις.
Πρόβλημα:
Ποια από τις τρεις φανταστικές χώρες θα δει, πρώτη απ’ όλες, ΌΛΟ τον πληθυσμό της, να είναι φορείς του ιού; Ποια δηλαδή θα είναι αυτή η χώρα που, πρώτη απ’ όλες (πιο γρήγορα από τις άλλες), θα δει όλους τους 1.000.000 κατοίκους της να είναι φορείς του ιού.
Πότε θα συμβεί αυτό για κάθε χώρα;
Απάντηση:
Με βάση τον πλήθος των φορέων που εμφανίζονται τις αρχικές μέρες της εξάπλωσης των κρουσμάτων σε κάθε χώρα, πολλοί αυθορμήτως θα απαντήσετε ότι πρώτη, σε αυτόν τον εντελώς παράλογο «διαγωνισμό» (ποια δηλαδή χώρα θα έχει πρώτη απ’ όλες 1.000.000 φορείς), θα είναι τελικά η Ηπιόνη.
Και αυτό γιατί θα θεωρήσετε ότι π.χ. την 5η μέρα στην Ηπιόνη υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός από 2.001 φορείς, ενώ την ίδια μέρα, στην Ακεσώ, οι φορείς είναι πολύ πιο λίγοι, είναι μόνο 25. Στη δε Πανάκεια, την 5η μέρα υπάρχουν ελάχιστοι φορείς, μόλις 16.
Κάνετε ΜΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ!
Με το συγκεκριμένο ρυθμό μετάδοσης του ιού στην Ηπιόνη (500 νέοι φορείς επιπλέον κάθε μέρα), αυτή θα είναι τελικά η τρίτη χώρα στο «διαγωνισμό».
Συγκεκριμένα, στην Ηπιόνη θα υπάρχουν 1.000.001 φορείς του ιού (όσοι δηλαδή περίπου είναι οι κάτοικοι της χώρας) την 2001η μέρα, δηλαδή στις 18/8/2025. Θυμηθείτε ότι η 1η μέρα αντιστοιχεί στην ημερομηνία εμφάνισης του πρώτου κρούσματος, που συνέβη ταυτόχρονα και στις τρεις χώρες. Και αυτό συνέβη και για τις τρεις χώρες στις 26/2/2020.
Τι θα συμβεί στην Ακεσώ, όπου ο αριθμός των φορέων κάθε μέρα είναι ίσος με το τετράγωνο του αύξοντα αριθμού της μέρας;
Θυμηθείτε ότι στην Ακεσώ, τις πρώτες μέρες, υπήρχαν πολύ λιγότεροι φορείς σε σχέση με την Ηπιόνη.
Η Ακεσώ όμως, σιγά-σιγά, θα ξεπεράσει την Ηπιόνη σε πλήθος φορέων την 500η μέρα, δηλαδή στις 9/7/2021. Τότε, στις 9/7/2021, στην Ακεσώ θα υπάρχουν 250.000 φορείς, ενώ στην Ηπιόνη θα υπάρχουν 249.501 φορείς.
Στην Ακεσώ θα εμφανιστούν 1.000.000 φορείς (δηλαδή ακριβώς όσοι είναι οι κάτοικοί της) αρκετά νωρίτερα από την Ηπιόνη. Συγκεκριμένα αυτό θα συμβεί την 1000η μέρα, στις 21/11/2022. Την ίδια μέρα στην Ηπιόνη θα υπάρχουν μισοί περίπου φορείς, σε σχέση με την Ακεσώ, και συγκεκριμένα 499.501 φορείς σε πλήθος.
Και αυτό συμβαίνει γιατί ο ρυθμός εξάπλωσης του ιού στην Ακεσώ είναι πολύ πιο γρήγορος απ’ ότι στην Ηπιόνη.
Ποια χώρα όμως τελικά θα «νικήσει» στον παράλογο αυτό «διαγωνισμό»;
Η ανακήρυξη του «νικητή» συνέβη ήδη και ήταν το “outsider”:
Ο «νικητής» ήταν η Πανάκεια, η χώρα που μάλλον μας διέφυγε αρχικά την προσοχή
Είναι η χώρα που τις πρώτες μέρες είχε πάρα πολύ λιγότερα κρούσματα, συγκριτικά με τις άλλες.
Η Πανάκεια όμως πάρα πολύ γρήγορα ξεπέρασε κατά πολύ την Ακεσώ σε πλήθος κρουσμάτων. Αυτό μάλιστα έλαβε ήδη χώρα. Συνέβη την 7η μέρα, στις 3/3/2020, δηλαδή σε μια βδομάδα από τη μέρα της εμφάνισης του πρώτου κρούσματος (που υπενθυμίζω ότι συνέβη στις 26/2/2020).
Τότε, στις 3/3/2020, στην Πανάκεια υπήρχαν ήδη 64 φορείς, στην Ακεσώ 49 φορείς, και στην Ηπιόνη 3.001 φορείς.
Αμέσως μετά, και με ιλιγγιώδη ταχύτητα, το πλήθος των φορέων στην Πανάκεια ξεπέρασε και το πλήθος των φορέων στην Ηπιόνη.
Αυτό έγινε τη 14η μέρα, στις 10/3/2020, μετά από δύο βδομάδες από τη μέρα της εμφάνισης του πρώτου κρούσματος (26/2/2020).
Τότε, στις 10/3/2020, στην Πανάκεια υπήρχαν 8.192 φορείς, στην Ακεσώ 196, και στην Ηπιόνη 6.501 φορείς.
Μάλιστα, με ακόμη μεγαλύτερη ταχύτατα, την 21η μέρα, στις 17/3/2020, τρεις μόνο βδομάδες από τη μέρα της εμφάνισης του πρώτου κρούσματος (26/2/2020), στην Πανάκεια υπήρχαν πολύ περισσότεροι από 1.000.000 φορείς του ιού! Συγκεκριμένα, αυτό συνέβη στις 17/3/2020. Στην Πανάκεια τότε υπήρχαν 1.048.576 φορείς (!), στην Ακεσώ 441 φορείς, ενώ στην Ηπιόνη 10.001 φορείς.
Μετά την 21η μέρα, το πλήθος των κρουσμάτων στην Πανάκεια πήρε κυριολεκτικά ανυπολόγιστες διαστάσεις και ο ιός άρχισε να μεταδίδεται και στους πολυπληθείς επισκέπτες της χώρας. Ας σημειωθεί ότι η Πανάκεια είναι μια όμορφη τουριστική χώρα γεμάτη τουρίστες. Έτσι την αμέσως επόμενη μέρα, την 22η μέρα (18/3/2020) είχαμε στην Πανάκεια 2.097.152 (!!) σε πλήθος κρούσματα, ενώ την 23η μέρα (19/3/2020) είχαμε στην Πανάκεια 4.194.304 (ΙΙΙ) πλήθος κρούσματα.
Όλα τα παραπάνω συμβάντα (έως τις 19/3/2020) παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα.
Συνεπώς:
· 20 μόνο μέρες μετά από το πρώτο κρούσμα έχουμε ήδη πολύ περισσότερους από 1.000.000 φορείς στην Πανάκεια.
· 1000 μέρες μετά από το πρώτο κρούσμα αναμένουμε 1.000.000 φορείς στην Ακεσώ.
· 2000 μέρες μετά από το πρώτο κρούσμα αναμένουμε 1.000.000 φορείς στην Ηπιόνη.
Η Ηπιόνη θα είναι λοιπόν η πιο «τυχερή» χώρα καθώς, αν συνεχιστεί με αυτό το ρυθμό η μετάδοση του ιού, θα δει πολύ αργότερα από τις άλλες δύο χώρες, όλους τους κατοίκους της να είναι φορείς.
Για την Ηπιόνη λοιπόν υπάρχει πολύ μεγαλύτερη πιθανότητα, πολύ πριν να μεταδοθεί ο ιός σε μεγάλες μάζες του πληθυσμού της χώρας, να βρεθεί το εμβόλιο και να σταματήσει έτσι η εξάπλωση του ιού.
Σχολιασμός:
Η παραπάνω ιστορία μπορεί να είναι ένα απολύτως φανταστικό παράδειγμα, ωστόσο σήμερα είναι απολύτως υπαρκτή η απειλή της «εκθετικής» αύξησης (exponential growth) της εξάπλωσης του κορωνοϊού.
Σήμερα, όλοι στον πλανήτη, σε κάθε χώρα του πλανήτη, όλοι μιλάνε για τους κινδύνους της «εκθετικής» αύξησης των κρουσμάτων.
Όλοι φοβούνται την απειλή της «εκθετικής» αύξησης …
Λίγοι όμως είναι αυτοί που κατανοούν ορθά τι σημαίνει η «εκθετική» αύξηση.
Και αυτοί είναι μόνο όσοι γνωρίζουν Μαθηματικά.
Εκθετική αύξηση έχουμε όταν το πλήθος των κρουσμάτων κάθε μέρα αυξάνει πολλαπλασιάζοντας το πλήθος των κρουσμάτων της προηγούμενης μέρας με ένα συντελεστή, που είναι μια τιμή μεγαλύτερη της μονάδας (1).
Ο συντελεστής αυτός, όσο μεγαλύτερη τιμή έχει από τη μονάδα (1), τόσο πιο ταχύτατα οδηγεί στο να χαθεί ο έλεγχος.
Η υποθετική ιστορία που περιγράψαμε, σκοπίμως παρουσιάζει ένα απλουστευμένο και με «τραβηγμένα» νούμερα παράδειγμα, προκειμένου να κατανοηθεί ο κίνδυνος της εκθετικής αύξησης. Στην Πανάκεια εμφανίζεται μια εκθετική αύξηση των κρουσμάτων που είναι πολύ «επιθετική». Ο συντελεστής της εκθετικής αύξησης της εξάπλωσης του ιού για την Πανάκεια είναι ο αριθμός δύο (2).
Αντιθέτως, στην Ακεσώ έχουμε ένα παράδειγμα μας «γεωμετρικής» αύξησης των κρουσμάτων, ενώ στην Ηπιόνη παρατηρούμε ένα παράδειγμα, ελεγχόμενης τελικά, «αριθμητικής» (γραμμικής) αύξησης των κρουσμάτων.
Πώς «δαμάζεται» μια επιθετική εκθετική αύξηση στα Μαθηματικά;
Αν μειώσουμε το συντελεστή της εκθετικής αύξησης σε μια τιμή πολύ κοντά στον αριθμό ένα (1) ή ακόμη καλύτερα κάτω από το ένα (1), οπότε έτσι θα αρχίσει η μείωση του ρυθμού.
Πώς θα επιτευχθεί αυτό στην πράξη;
Με ένα και μόνο τρόπο:
Μένοντας (για λίγο καιρό ακόμη ελπίζω) ο καθένας στο σπίτι του ώστε να μειωθεί το πλήθος των επαφών του.
Μένοντας ο καθένας στο σπίτι του ώστε σύντομα, κάθε νέα μέρα να αρχίσει να μειώνεται το πλήθος των νέων φορέων του ιού.
Ως υστερόγραφο να σημειώσω ότι ονόματα των χωρών στο φανταστικό παράδειγμα δεν τα επέλεξα καθόλου τυχαία.
Στην Αρχαία Ελληνική Μυθολογία η Ηπιόνη, η Ακεσώ και η Πανάκεια λατρεύονταν ως θεότητες της Υγείας. Η Ηπιόνη ήταν η γυναίκα του Ασκληπιού, του θεού της Ιατρικής των Αρχαίων Ελλήνων. Μαζί με τον Ασκληπιό, η Ηπιόνη απόκτησε τέσσερις κόρες την Ακεσώ, την Πανάκια, την Αίγλη και την Υγεία.
Υπό τις παρούσες συνθήκες, μόνο ένα σας εύχομαι:
